درود
در این صفحه تکالیف خودتون رو مشاهده میکنید
هر روز چند تا سوال و یه مدت داده میشه که باید اونارو از خودتون در اون مدت امتحان بگیرین و بنویسین و تا ساعت ۹ شب برام بفرستین. چند نکته وجود داره:
۱. امتحانها حضوری برگزار میشه.
۲. تا آخر شب هر روز، نوشتهها تصحیح میشه و نتایجش رو اینجا میذارم. هر کسی اگر سوالی رو کامل حل کرد، جلوی اون سوال اسمش با قرمز نوشته میشه و در غیر این صورت، میزان نمرش بهش گفته میشه ولی اسمش گذاشته نمیشه. به هیچ وجه سوالاتی که حل نمیکنید یا ناقص هستند رو دنبال جوابش نرید. رهاشون کنید. پس از هر چند آزمون مهلتی خواهم داد که اونارو دقیق حل کنید و برام بفرستید و اگه بازم حل نشد در کلاس بررسی خواهیم کرد.
۳. سوالات رو کامل و به سبک م۲ بنویسید.
۴. بازم تاکید میکنم سراغ جوابا نرید.
منابع سوالات:
کتاب استراتژیهای حل مسئله، آرتور انگل، ترجمهی یاسر احمدی فولادی، انتشارات باشگاه دانشپژوهان جوان
کتاب محافل ریاضی تجربهی روسها، د.فومین - س.گنکین - ای.ایتنبرگ، ترجمهی ارشک حمیدی - مهرداد مسافر - انتشارات فاطمی
کتاب آنالیز ترکیبی، علیرضا علیپور، نشر الگو
کتاب اصول و فنون ترکیبیات، چنچوانچنگ - کهکیمنگ، ترجمهی یاسر احمدی فولادی، انتشارات باشگاه دانشپژوهان جوان
problems from around the world - Titu Andreescu, Zuming Frng - Mathematical Association of America
The IMO compendium - Dusan Djukic, Vladmir Jancovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic - Springer
مسائل المپیادهای ریاضی شوروی، روسیه، رومانی، فرانسه، برزیل، ایتالیا، ایران، ژاپن، کانادا، آمریکا، مجارستان، لهستان، بالکان و کرواسی
مسائل مرحله اول، دوم و دورهی تابستانهی المپیادهای کامپیوتر ایران
مسائل مسابقات ریاضی HMMT, IMC, AIME و مسابقات علمی گروه المپیاد جیپک
+ سوالات تالیفی و منابع پراکندهی دیگر
تکالیف پنجشنبه - ۲۰ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. در ابتدا اعداد ۱، ۲، ...، ۴n-۱ روی یک تخته نوشته شده است. در هر مرحله میتوان دو عدد دلخواه را پاک کرد و تفاضلشان را نوشت. پس از ۴n-۲ گام، یک عدد روی تخته باقی میماند. ثابت کنید این عدد زوج است. (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. یک تخته شترنج ۸ در ۸ که به صورت شترنجی با سیاه و سفید رنگآمیزی شده است را در نظر بگیرید. میخواهیم به تخته شترنجی برسیم که تنها یک خانهی آن سیاه است و بقیهی خانههای آن سفید هستند. آیا میتوان این کار را انجام داد اگر:
الف) در این قسمت میتوان در هر مرحله یک سطر یا یک ستون را در نظر گرفت و رنگ تمام خانههای آن را تغییر داد. (۱۵ امتیاز)
ب) در این قسمت میتوان در هر مرحله یک زیرجدول ۲ در ۲ از جدول را در نظر گرفت و رنگ تمام خانههای آن را تغییر داد. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. در هر خانه از یک جدول مستطیلی، عددی صحیح و مثبت قرار دارد. در هر حرکت میتوانید تمام اعداد یک سطر را ۲ برابر کنید و یا از هر عدد در یک ستون، یک واحد کم کنید. ثابت کنید با دنبالهای از این حرکات، میتوان به جدولی رسید که تمام اعداد آن ۰ باشند. (۲۵ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۴. در جدول زیر میتوانید علامتهای یک سطر، یک ستون و یا یک ردیف موازی با یکی از قطرها را تغییر دهید. مثلن میتوانید در یک مرحله علامت خانهی یکی از گوشهها را تغییر دهید. آیا ممکن است تمام علامتها + شود؟ (۲۵ امتیاز)
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + - +
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۵ مرتضی: ۵۰
تکالیف جمعه - ۲۱ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. در ابتدا یک عدد داریم. هر مرحله رقم سمت راست آن را حذف کرده و آن را با عدد باقیمانده جمع میکنیم. مثلن از عدد ۱۰۸۹ به عدد ۱۱۷ خواهیم رسید. فرض کنید عدد ابتدایی ۷۱۹۹۶ باشد. این کار را آنقدر انجام میدهیم تا به عددی با ۱۰ رقم برسیم. نشان دهید این عدد دست کم ۲ رقم برابر دارد. (۲۵ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۲. سطری از ۱۰۰۰ عدد صحیح داریم. سطر دوم را به صورت زیر، میسازیم:
فرض کنید عدد i ام سطر اول، ai باشد. عدد i ام سطر دوم را برابر با تعداد ai ها در سطر اول قرار میدهیم.
به همین ترتیب سطر سوم را از سطر دوم میسازیم و همین طور جلو میرویم. ثابت کنید بالاخره یکی از سطرها، همانند سطر بعدی خواهد بود. (۳۵ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. در هر خانه از یک تخته شترنج ۸ در ۸، عددی صحیح قرار داده شده است. در هر حرکت میتوان یک زیرمربع ۳ در ۳ یا ۴ در ۴ انتخاب کرد و به هر خانهی مربع انتخاب شده، یک واحد اضافه کرد. آیا همواره میتوان جدولی ساخت که همهی خانههای آن بر
الف) ۲ (۲۰ امتیاز)
ب) ۳ (۲۰ امتیاز)
بخشپذیر باشند؟
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
مرتضی: ۶۰ وحید: ۶۰
تکالیف شنبه - ۲۲ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. فرض کنید a1, a2, ..., an جایگشتی از اعداد ۱ تا n باشد. نشان دهید اگر n فرد باشد، مقدار
P = (a1 - 1)(a2 - 2) ... (an - n)
زوج است. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. با استفاده از ناوردایی ثابت کنید تعداد راسهای درجه فرد گراف زوج است. (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. نقطههای یک صفحه با ۳ رنگ، رنگآمیزی شده است. ثابت کنید میتوان ۲ نقطه به فاصلهی ۱ یافت که همرنگ باشند. (۲۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۴. یک مهره در نقطهی (۱ ،۱) مختصات قرار دارد. فرض کنید که در این لحظه مهره در خانهی (x, y) باشد. میتوانیم مهره را به خانههای زیر ببریم:
- (2x, y)
- (x, 2y)
- اگر x < y باشد به (x, y - x)
- اگر x > y باشد به (x - y, y)
تمام نقاطی را بیابید که میتوانیم مهره را به آن نقاط ببریم. (۳۵ امتیاز)
وحید - مرتضی
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ مرتضی: ۳۰
تکالیف یکشنبه - ۲۳ تیر ۱۳۹۲
تکلیف اینه که در ۳ امتحان قبلی، هر چی حل نکردین یا ناقص حل کردین رو مفصل روش فکر کنین و اگه به جواب رسیدین بفرستین. اگه بازم حل نشدن نگهشون دارین و بازم سراغ جوابا نرید.
تکالیف دوشنبه - ۲۴ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
توضیح: آزمون در مدرسه برگزار شود.
نقاط صفحه را در نظر بگیرید:
۱. آنها را با ۲ رنگ، رنگآمیزی کردهایم. ثابت کنید ۲ نقطه وجود دارد که آن دو نقطه و همچنین نقطهی وسط آنها همرنگ باشند. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. آنها را با ۲ رنگ، رنگآمیزی کردهایم. ثابت کنید ۴ نقطه وجود دارند که همرنگ باشند و تشکیل رئوس یک مستطیل را بدهند. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. آنها را با n رنگ، رنگآمیزی کردهایم. ثابت کنید ۴ نقطه وجود دارند که همرنگ باشند و تشکیل رئوس یک مستطیل را بدهند. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۴. آنها را با ۲ رنگ، رنگآمیزی کردهایم. ثابت کنید ۳ نقطه وجود دارند که همرنگ باشند و تشکیل یک مثلث متساویالاضلاع را بدهند. (۲۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم - مرتضی
۵. آنها را با ۲ رنگ، رنگآمیزی کردهایم. ثابت کنید رنگی وجود دارد که به ازای هر ۰< d، دو نقطه با آن رنگ به فاصلهی d وجود داشته باشند. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۵ مرتضی: ۸۰ ابراهیم: ۶۵
تکالیف سهشنبه - ۲۵ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ساعت
توضیح: سوال ۱ قبلن به شما داده شده بود. لطفن حل کرده بنویسی و بفرستید که میخوام پاسختون رو چک کنم. لطفن کاملن دقیق حل کنید که حلش دقیقه و شهودی نیست.
۱. یک جدول ۱۰ در ۱۰ داریم. ۹ تا از خانههای آن با سیاه و بقیه با سفید رنگ شدهاند. هر مرحله میتوان یک خانه که دست کم ۲ خانهی سیاه مجاور ضلعی دارد را سیاه کرد. ثابت کنید نمیتوان کل جدول را سیاه کرد. (۴۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. الگوریتم زیر یک زوج مرتب (a, b) را میگیرد و الگوریتم را انجام میدهد:
تا زمانی که a > 0 انجام بده:
اگر a < b، زوج مرتب را به (2a, b - a) تبدیل کن.
در غیر این صورت زوج مرتب را به (a - b, 2b) تبدیل کن.
برای چه زوج مرتبهای اولیه، الگوریتم پایان مییابد؟ (۶۰ امتیاز)
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰
تکالیف چهارشنبه - ۲۶ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
توضیح: بچهها بدونین اگه من حس کنم جواب میخونین بدجوری ناراحت میشم. این بدترین ضربهایه که میتونین به خودتون بزنین
۱. میخواهیم n شیء یکسان را بین تعدادی دستهی متفاوت تقسیم کنیم. هر درسته باید دستکم ۲ شیء داشته باشد. به چند روش میتوانیم این کار را بکنیم؟ جواب را به سادهترین صورت ممکن بیان کنید. مثلن برای برای ۵ شیء، ۳ روش داریم. (۴۰ امتیاز)
توضیح: این سوال طراحی از خودم است.
وحید
۲. یک دستهکارت با 2n کارت داریم که اعداد ۰، ۱، ۲، ....، ۲n-۱ به ترتیب روی آنها نوشته شده است. با عمل زیر که آن را برزدن مینامیم، میتوانیم ترتیب کارتها در دسته را عوض کنیم:
ابتدا دسته کارت را به ۲ دسته که n کارت اول در دستهی اول و n کارت دوم در دستهی دوم قرار دارد، تقسیم میکنیم. سپس به نوبت یک کارت از دستهی اول و یک کارت از دستهی دوم برمیداریم تا دسته کارت جدید تشکیل شود. به طور مثال اگر اعداد ابتدای دستهکارت، ۸،۳،۴،۵،۲،۶،۱،۷ باشد، پس از بر زدن تبدیل به ۸،۲،۳،۶،۴،۱،۵،۷ خواهد شد.
الف) ثابت کنید اگر برای هر n، عمل برزدن را مرتبن تکرار کنیم، بالاخره به همان ترتیب اولیه خواهیم رسید! (۱۵ امتیاز)
وحید
ب) برای n = ۱۰ جند بار باید بر بزنیم تا به ترتیب اولیه برسیم؟ (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی
پ) ثابت کنید برای n = 2k پس از k + ۱ مرحله به ترتیب اولیه خواهیم رسید. (۱۵ امتیاز)
ت) ثابت کنید برای n = 2k+۱ پس از ۲k+۲ مرحله به ترتیب اولیه خواهیم رسید. (۱۵ امتیاز)
نمزات در امتحان:
وحید: ۶۵ مرتضی: ۲۰
تکالیف پنجشنبه ۲۷ تیر ۱۳۹۲
تکلیف اینه که در امتحانهای قبلی، هر چی حل نکردین یا ناقص حل کردین رو مفصل روش فکر کنین و اگه به جواب رسیدین بفرستین. اگه بازم حل نشدن نگهشون دارین و بازم سراغ جوابا نرید. لطفن روی سوالا خوب فکر کنید. هیچ کدوم غیر قابل حل نیستن و پس از مقدار معقولی فکر کردن حل مبشن.
مدت: ۴ ساعت
توضیح: بچهها یادآوری قراره این سوالا رو هر روز امتحان بدین و در هنگام امتحان م۲ای بنویسین و بفرستین. ولی چیزی که من حس میکنم اینه که فقط سوالا رو حل میکنید. خلاصه این که حواستون باشه.
سوالات ۱ و ۲ قبلن به شما داده شده بود ولی فرستاده نشده بود. اگر حلکردید بنویسید و بفرستین. اگرم حل نکردین حلکنین و بفرستین. ینی بازم فرض کنید که امتحانه و اگه قبلن حل کردین بنویسین و بفرستین.
۱. در ابتدا یک رشته از ۰ و ۱ داریم. هر مرحله میتوان به جایی از رشته ۰۰ یا ۱۱ اضافه کرد یا این که ۰۰ یا ۱۱ از آن حذف کرد. مثلن از رشتهی ۱۱۰ میتوان به رشتههای ۰۰۱۱۰ و ۱۰۰۱۰ و ۱۱۰۰۰ و ۱۱۱۱۰ و ۱۱۰۱۱ و ۰ رسید. اگر رشتهی ابتدایی ۰۱ باشد، آیا ممکن است رشتهی انتهایی ۱۰ باشد؟ (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. الف) عددهای ۱ تا n به ترتیب در یک ردیف قرار دارند. هر مرحله میتوان ۲ عدد مجاور را جابهجا کرد. پس از x مرحله ترتیب اعداد برعکس شده است. تمام -مقادیر x را بیابید. (۱۵ امتیاز)
ب) همان قسمت الف با این تفاوت که هر مرحله میتوان ۲ عدد دلخواه (نه لزومن مجاور) را جابهجا کرد. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. n نقطه در صفحه قرار دارند. هر دو نقطه را که از این نقاط در نظر بگیریم، فاصلهیشان حداقل ۱ است. ثابت کنید تعداد جفت نقاطی که فاصلهیشان دقیقن ۱ است، حداکثر ۳n میباشد. (۴۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۵۵ مرتضی: ۶۰
مدت: ۴ ساعت
توضیح: بعد امتحان یادتون نره رو سوال ۱ دیروز به روش دومی که خواستم فک کنین.
۱. عددهای ۱، ۲، ...، ۱۳۹۲ به ترتیبی دلخواه در ۱۳۹۲ مکان با شمارههای ۱، ۲، ...، ۱۳۹۲ قرار دارند. به هر عدد، شماره مکانش را اضافه میکنیم. ثابت کنید در بین ۱۳۹۲ عدد به دست آمده، ۲ عدد هستند که باقیماندهی آنها در تقسیم بر ۱۳۹۲، برابر است. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۲. در ابتدا دو عدد ۱۸ و ۱۹ روی تخته سیاه هستند. هر مرحله میتوانید ۲ عدد از روی تخته انتخاب کنید و مجموعشان را هم روی تخته بنویسید. آیا میتوان به عدد ۱۹۹۴ رسید؟ (۳۵ نمره)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. ۳۵ عدد صحیح دلخواه داریم. هر مرحله میتوان ۲۳ تا از آنها را انتخاب کرد و به هر کدام ۱ واحد اضافه کرد. آیا همواره میتوان هر ۳۵ عدد را برابر کرد؟ (۳۵ نمره)
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۵ مرتضی: ۳۵
تکالیف یکشنبه ۳۰ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. راسهای یک n ضلعی با عددهای حقیقی x1, x2, ..., xn شمارهگذاری شدهاند. فرض کنید a, b, c, d اعداد چهار راس متوالی باشند. اگر
(a - d)(b - c) < ۰
بود، میتوانیم b را با c جابهجا کنیم. آیا عمل جابهجایی میتواند نامتناهی بار انجام شود؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. چندجملهای h(x)= x را در نظر بگیرید. آیا میتوان این چندجملهای را با استفادهای از چندجملههای f و g و استفاده از اعمال جمع، تفریق و ضرب به دست آورد، اگر:
الف) f(x) = x2 + x و g(x) = x2 + 2 ؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
ب) f(x) = 2x2 + x و g(x) = 2x ؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
پ) f(x) = x2 + x و g(x) = x2 - 2 ؟ (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۶۰
تکالیف دوشنبه ۳۱ تیر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت و نیم
توضیح: امتحان در مدرسه برگزار شود. بچهها خودتون حواستون باشه که در هیچ سوالی تا نگفتم جواب نخونین. من حس بکنم جواب خوندین ناراحت میشم و دیگه یزد نمیام :) قهرمان این آزمون هم مث همیشه ابراهمیه!
۱. ۱۰ سکه که همه به پشت هستند، دور یک دایره هستند. هر مرحله میتوان یکی از ۲ کار زیر را انجام داد:
- ۴ سکهی متوالی را پشت و رو کرد.
- ۵ سکهی متوالی را در نظر گرفت و همهی آنها به جز سکهی وسط را پشت و رو کرد.
آیا با دنبالهای متناهی از گامها میتوان همهی سکهها را به رو کرد؟ (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. ابراهیم تعدادی بستنی و ماهی و پفک دارد. هر مرحله او میتواند یکی از کارهای زیر را انجام دهد:
- دو بستنی را بدهد و یک بستنی بگیرد. (تعجب نکنید. این کارا ازش بر میاد :) )
- دو پفک بدهد و یک ماهی بگیرد.
- دو ماهی بدهد و یک پفک بگیرد.
- یک ماهی و یک پفک بدهد و یک بستنی بگیرد.
- یک بستنی و یک پفک بدهد و یک پفک بگیرد.
- یک بستنی و یک ماهی بدهد و یک ماهی بگیرد.
ثابت کنید آخرین چیزی که برایش باقی میماند به چگونگی بازی کردنش بستگی ندارد! (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. عددهای طبیعی را با سیاه و سفید رنگآمیزی کردهایم. مجموع ۲ عدد با رنگهای گوناگون باید سیاهرنگ و حاصلضربشان باید سفیدرنگ باشد.
الف) حاصلضرب ۲ عدد سفید چه رنگی است؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
ب) همهی چنین رنگآمیزیهایی را بیابید. (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۴. یک ابراهیم، ۳ میخ، به مقدار زیادی طناب و یک حلقه داریم! میخواهیم ابراهیم را یک چمنزار بیندازیم. میخواهیم از این وسایل طوری استفاده کنیم که ابراهیم بتواند آزادانه در یک نیمدایره بچرد، ولی نتواند از آن بیرون برود! طنابها و میخها محکم هستند! میخها باید به زمین کوبیده شوند (ینی یهو نیاین طناب رو با میخ بزنین به گردن این بندهخدا!). طناب رو به گردن ابراهیم هم میتونین ببنیدین و به محکم بودنش هم اعتماد کنید :). دقت کنید این بشر شعور نداره و از رو طنابهای روی زمین اینا رد میشه. تنها راه اینه طنابی که بهش وصله جلوگیری کنه از رفتن بیش از حدش! از حلقه هم هر استفادهای میتونین بکنین. یک روش ارائه کنید! (۳۰ امتیاز)
توضیح: بعد از حل این سوال یادتان نرود سر جلسه هستید و از جیغ زدن پرهیز کنید!
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ مرتضی: ۴۰
تکالیف سهشنبه ۱ مرداد ۱۳۹۲
سوالات حلنشدهی روزهای قبل :)
این سوالا ارجعیت دارن برای حل:
۱. سوال ۱ ۲۸ام با استفاده از راهنماییای که کردم
۲. سوال ۲ ۲۸ام پس از حل سوال قبل
۳. سوالات دیگر :)
تکالیف چهارشنبه ۲ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۵ ساعت
۱. a مهرهی سفید و b مهرهی سیاه و c مهرهی قرمز داریم. هر مرحله میتوان ۲ مهره از دو رنگ را با یک مهره از رنگ باقیمانده جایگزین کرد.
الف) برای چه a,b,c هایی، میتوان به وضعیتی رسید که تنها ۱ مهره بماند؟ (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
ب) ثابت کنید اگر تنها ۱ مهره بماند، رنگ مهرهی پایانی، به چگونگی اعمال بستگی نخواهد داشت. (۱۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. n عدد روی یک تختهسیاه نوشته شدهاند. در یک گام میتوانید دو عدد دلخواه، مانند a,b را پاک کنید و به جای آن
(a+b)/۴
را بنویسید. با n - ۱ بار تکرار این گام، یک عدد باقی میماند. ثابت کنید اگر در ابتدا n عدد ۱ روی تخته بود، عدد پایانی کمتر از
۱/n
نخواهد بود. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. در عدد
197747...
هر رقم از رقم پنجم به بعد، مجموع ۴ رقم قبلی در پیمانهی ۱۰ است. کدام یک از زیررشتههای ۴ رقمی زیر، در ادامهی عدد، در این عدد پیدا خواهند شد؟
الف) ۱۲۳۴ (۱۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
ب) ۳۲۶۹ (۱۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
پ) ۱۹۷۷ (۱۰ امتیاز)
ت) ۰۱۹۷ (۱۰ امتیاز)
نمرات در امتحان:
وحید: ۵۰ مرتضی: ۵۰
تکالیف پنجشنبه ۳ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. سه عدد صحیح a, b, c روی یک تخته سیاه نوشته شدهاند. سپس یکی از عددها را پاک کرده و با «مجموع دوتای دیگر منهای ۱» جایگزین میکنیم. این عملها را انجام دادهایم و پس از مدتی به سه عدد ۱۷، ۱۹۶۷ و ۱۹۸۳ رسیدهایم. آیا عددهای ابتدایی میتوانند
الف) ۲، ۲، ۲ (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
ب) ۳، ۳، ۳ (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
باشند؟
۲. هر جمله در دنبالهی
۱ ۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ...
با آغاز از جملهی هفتم مجموع ۶ جملهی قبلی در پیمانهی ۱۰ است. ثابت کنید زیردنبالهی
۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ۱
هیچگاه در دنباله رخ نمیدهد. (۵۰ نمره)
نمرات در امتحان:
مرتضی: ۴۵ وحید: ۲۰
تکالیف جمعه ۴ مرداد ۱۳۹۲
به درخواست خودتون امروز امتحانی برگزار نمیشه و روی سوالات روزای قبل فکر کنید.
تکالیف شنبه ۵ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. آیا دنبالهی مربعهای عددهای طبیعی، یک زیردنبالهی نامتناهی تشکیل دهندهی یک تصاعد حسابی دارد؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی۲. در یک ۵ ضلعی منتظم، تمام قطرها کشیده شدهاند. در آغاز روی هر راس و هر نقطه برخورد قطرها، عدد ۱ را مینویسیم. در یک گام میتوانی علامت اعداد روی یک ضلع یا یک قطر را عوض کنیم. آیا ممکن است همهی اعداد به ۱- تبدیل شوند؟ (۳۰ امتیاز)
ابراهیم - وحید - مرتضی۳. همان سوال قبل را برای یک شش ضلعی منتظم حل کنید. (۴۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم -
مرتضینمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ مرتضی: ۳۰
تکالیف یکشنبه ۶ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. n نقطه روی یک دایره وجود دارد. روی هر نقطه یک مهره وجود دارد. هر مرحله میتوان ۲ مهرهی دلخواه را در نظر گرفت و آنها را در جهتهای مخالف (یکی ساعتگرد و دیگری پادساعتگرد)، یک واحد جابهجا کرد. برای چه nهایی میتوان تمام مهرهها را در یک نقطه جمع کرد؟ (۳۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید۲. ۷ راس یک مکعب با ۰ و یکی دیگر با ۱ نشانهگذاری شده است. میتوانید به طور متوالی یک یال را انتخاب کنید و ۱ واحد به اعداد دو سر آن بیفزایید.
الف) آیا میتوان به ۸ عدد برابر رسید؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیمب) آیا میتوان به ۸ عدد بخشپذیر بر ۳ رسید؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم۳. یک رشتهی دودویی n رقمی با ارقام ۰ و ۱ در نظر بگیرید. هر مرحله میتوان یک واژهی دودویی دلخواه به طول دلخواه همانند X را در نظر گرفت. سپس رشتهی XXX را به جایی دلخواه از رشتهی اصلی اضافه کرد یا از جایی دلخواه از رشتهی اصلی حذف کرد. اگر رشتهی اصلی ۰۱ باشد، میتوان به رشتهی ۱۰ رسید؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم - مرتضینمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۴۰
تکالیف دوشنبه ۷ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۵ ساعت
توضیح: آزمون در مدرسه برگزار شود.
۱. روی هر خانهی یک تخته شترنج ۹ در ۹ یک سوسک نشسته است. در یک لحظه تمام سوسکها همزمان، یک واحد در جهت قطری جابهجا میشوند. کمینهی تعداد خانههای خالی از سوسک پس از حرکت را بیابید. (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم۲. یک جدول ۲۵ در ۲۵ در نظر بگیرید که هر خانهی آن ۱+ یا ۱- است. حاصلضرب اعداد هر سطر و حاصلضرب اعداد هر ستون را در نظر بگیرید. ثابت کنید مجموع ۵۰ عدد به دست آمده، هیچگاه ۰ نخواهد بود. (۲۵ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. روی یک خانه از یک جدول ۵ در۵ عدد ۱- و روی ۲۴ خانهی دیگر ۱+ نوشته شده است. هر مرحله میتوان یک زیر مربع a در a که a > 1 از جدول انتخاب کرد و تمام اعداد آن را قرینه کرد. توجه کنید aهای مراحل متفاوت میتواند متفاوت باشد. پس از مدتی تمام اعداد ۱+ شدهاند. ۱- ابتدایی در کدام خانههای میتواند باشد؟ (۲۵ امتیاز)
وحید - مرتضی۴. ثابت کنید یک مستطیل a در b میتواند با مستطیلهای ۱ در n پوشانده شود اگر و تنها اگر a | n یا b | n برقرار باشد. (۳۰ امتیاز)
مرتضی
نمرات در امتحان:
وحید: ۴۵ مرتضی: ۴۵
تکالیف سهشنبه ۸ مرداد ۱۳۹۲
فکر کردن روی سوالات روزهای قبل.
تکالیف چهارشنبه ۹ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. یک جدول ۱۳۹۲ در ۱۳۹۲ داریم. حداقل چند خانه را باید سیاه کنیم تا هیچ ۳ خانهی سفید نمانند که تشکیل یک سهخانهای L مانند بدهند؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی۲. همان سوال قبل را برای یک جدول ۱۳۹۲ در ۲۰۱۳ حل کنید. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی۳. همان سوال قبل را برای یک جدول ۲۰۱۳ در ۲۰۱۳ حل کنید. (۴۰ امتیاز)
وحیدنمرات در امتحان:
وحید: ۱۰۰ مرتضی: ۷۰
تکالیف پنجشنبه ۱۰ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. هر نقطه از فضا را با یکی از ۳ رنگ قرمز و آبی و سبز رنگ کردهایم. ثابت کنید رنگی وجود دارد که به ازای هر d > 0 دو نقطه به آن رنگ وجود داشته باشد که فاصلهیشان d باشد. (۳۰ امتیاز)
۲. یک سالن به شکل یک nضلعی ساده داریم. n ضلعی ساده، n ضلعی است که اضلاعش یکدیگر را قطع نمیکنند، هر چند میتواند کوژ یا کاو باشد. ثابت کنید میتوان روی n/3 راس چشمهی نور بگذاریم، طوری که کل چندضلعی روشن شود. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید۳. چند مربع ۱ در ۱ داریم. ۴ رنگ داریم. ۴ ضلع هر مربع را با یکی از ۴ رنگ میتوانیم رنگآمیزی کنیم، طوری که هر مربع، هر ۴ رنگ را داشته باشد. میخواهیم این مربعها را به هم بچسبانیم و یک مستطیل m در n به دست بیاوریم، طوری که ضلع مشترک هر ۲ مربع مجاور، همرنگ باشد. برای چه m و nهایی این کار امکان پذیر است؟ (۴۰ امتیاز)
مرتضی - ابراهیم - وحیدنمرات در امتحان:
مرتضی: ۶۰ ابراهیم: ۴۰
تکالیف جمعه ۱۱ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. همان سوال ۳ دیروز، با این تفاوت که باید در انتها، هر ضلع مربع m در n نیز تنها یالهایی از یک رنگ داشته باشد. (۴۰ امتیاز)
مرتضی
۲. میخواهیم اعداد طبیعی را با قرمز و سبز رنگآمیزی کنیم، طوری که جمع هر ۳ عدد (نه لزومن متفاوت) از یک رنگ، از همان رنگ باشد. تمام چنین رنگآمیزیهایی را بیابید. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. آیا ممکن است یک جدول ۲۰۰۳ در ۲۰۰۳، با «دومینوهای افقی ۱ در ۲» و «ترومینوهای عموی ۳ در ۱» پوشانده شود؟ (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
مرتضی: ۱۰۰
تکالیف شنبه ۱۲ مرداد ۱۳۹۲
خب بچهها. سوالات ناورداییای که باید به عنوان تکلیف حل میکردین تموم شد. حالا میریم سراغ جمعبندی سوالایی که حل نکردیم. هر روز تعداد سوال رو مشخص میکنم که قبلن حل نشده و دوباره روی اونا فکر کنید و بفرستید. روی اینا باید به اندازهی کافی فکر کنید که چند روز دیگه اومدم بررسیشون کنم، آماده باشید.
سوالات ۲۰، ۲۱ و ۲۲ تیر ۱۳۹۲ هر چه که حل نکردین روش فکر کنید و بفرستید.
تکالیف یکشنبه ۱۳ مرداد ۱۳۹۲
سوالات ۲۳ و ۲۴ و ۲۵ و ۲۶ و ۲۷ و ۲۸ تیر ۱۳۹۲ هر چه که حل نکردین روش فکر کنید و بفرستید.
تکالیف دوشنبه ۱۴ مرداد ۱۳۹۲
روز استراحت!
.
.
.
.
.
اردوی علمی شماره ۲ یزد
.
.
.
.
.
توضیح: از این به بعد تا پایان تابستان، همانطور که قبلن بهتون گفتم، روزهای دوشنبه، پنجشنبه و جمعه به صورت امتحان حضوری، ترکیبیات کار خواهید کرد و پس از امتحان نیز باید روی سوالات آن فکر کنید. روزهای دیگر در صورت داشتن وقت اضافه، سوالات روزهای قبل را باید حل کنید. حلها را همه پس از امتحان با هم میفرستید و سپس در خانه روی سوالات فکر میکنید.
تکالیف دوشنبه ۲۱ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت و نیم
۱. ۲n کارت در یک ردیف قرار دارد. روی هر کارت یک عدد طبیعی قرار دارد. مجموع اعداد کارتها فرد است. دو نفر با هم بازی میکنند. هر نفر در نوبتش، یکی از ۲ کارت کنارهی ردیف را برمیدارد (در حرکت آخر نیز تنها کارت موجود برداشته میشود). کسی که در انتها مجموع اعدادش بیشتر باشد، میبرد. استراتژی برد با کیست؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. n کتاب در یک ردیف قرار دارد. هر مرحله میتوان جای دو تا از کتابها را عوض کرد. ثابت کنید میتوان این عملها را طوری انجام داد که هر یک از n! حالت متفاوت از ترتیب کتابها، دقیقن یک بار ظاهر شود و کار تمام شود. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۳. فرض کنید a, b دو عدد طبیعی نسبت به هم اول باشند. ثابت کنید اعداد صحیح x, y وجود دارند طوری که ax+by=1 باشد. (این لم در کلاس توضیح داده شد. حالا شما باید آن را ثابت کنید). (۴۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۴۵ مرتضی: ۶۰ ابراهیم: ۳۰
تکالیف پنجشنبه ۲۴ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت و نیم
۱. یک گراف کامل سادهی n راسی که n >= 4، داریم. هر یال آن با یکی از چهار رنگ موجود، رنگ شده است. از هر ۴ رنگ حداقل ۱ بار استفاده شده است. ثابت کنید این گراف یک زیرگراف القایی دارد که یالهای آن دقیقن از ۳ رنگ تشکیل میشوند. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۲. ثابت کنید برای هر n فرد، تورنمنتی n راسی داریم که در هر راس آن، درجهی ورودی و خروجی برابر باشد. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. برای هر n >= 6 ثابت کنید عدد فیبوناچی nام، از 2n کوچکتر و از 2n/2 بزرگتر است. (۴۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۷۰ ابراهیم: ۷۰
تکالیف جمعه ۲۵ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. ثابت کنید برای هر n طبیعی داریم اگر z + 1/z = 2 cos a باشد، zn + 1/zn = 2 cos na خواهد بود. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
۲. n - 1 خانه از یک جدول را علامت گذاشتهایم. ثابت کنید با جابهجایی سطرها و جابهجایی ستونهای این جدول میتوان به جدولی رسید که همهی خانههای علامتدار آن زیر قطر اصلی جدول باشند. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. فرض کنید A, B دو کلمهی انگلیسی باشند که AB = BA است (XY کلمهای است که از گذاشتن Y به دنبال X به دست میآید). ثابت کنید کلمهی C وجود دارد که هر یک از A, B از به دنبال هم گذاشتن تعدادی C به دست میآیند. (۴۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۳۰ ابراهیم: ۳۰
تکالیف دوشنبه ۲۸ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. فرض کنید pn برابر با n امین عدد اول باشد. ثابت کنید دنبالهای به طول 2n - 1 وجود دارد که هر جملهی آن برابر با یکی از اعداد p1, p2, ..., pn باشد و حاصلضرب هر چندجملهی متوالی آن مربع کامل نباشد. (۳۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم - مرتضی
۲. ثابت کنید به ازای بیشمار عدد طبیعی n میتوان اعضای مجموعهی اعداد طبیعی ۱ تا 3n را به n دستهی ۳ تایی افراز کرد، طوری که در هر دسته، عدد بزرگتر مجموع ۲ عدد دیگر باشد. (۳۰ امتیاز)
۳. عدد یک زیرمجموعه از اعداد طبیعی برابر با مربع حاصلضرب اعضای آن است. زیرمجموعهای از مجموعهی اعداد طبیعی ۱ تا n در نظر بگیرید. این زیرمجموعه را پخش مینامیم اگر هیچ ۲ عضو متوالیای از اعداد ۱ تا n نداشته باشد. مجموع عددهای زیرمجموعههای پخش مجموعهی اعداد ۱ تا n چقدر است؟ مثلن این مقدار برای n = 3 برابر با ۲۳ است. (۴۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ ابراهیم: ۳۰ مرتضی: ۳۰
تکالیف پنجشنبه ۳۱ مرداد ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
توضیح: بچهها قراره در روزههای به غیر از دوشنبه و پنجشنبه و جمعه، در وقتهای آزاد، رو سوالای روزای قبل فکر کنید و بیکار نباشید! در حالی که من خیلی کم میبینم که همچین کاری بکنید! ضمن این که آماده باشید که فردا یه آزمون م۱ دارید. امروز هم آزمونتون سوالات سادهتر و شمارشیه! همهی سوالات رو با راه حل تشریحی بفرستید.
۱. هر یک از وجههای یک مکعب مربع را میخواهیم با یکی از ۲ رنگ سیاه و سفید رنگ کنیم. به چند طریق این کار ممکن است؟ (۱۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۲. از هر یک از ۳ نوع توپ موجود، 2n تا داریم. این توپها را بین ۲ نفر تقسیم میکنیم، طوری که به هر نفر 3n توپ برسد. ثابت کنید این کار به 3n2+3n+1 روش میتواند انجام شود. (۱۵ امتیاز)
وحید
۳. از 3n+1 توپ موجود، n تا از آنها یکسان و بقیه متفاوت هستند. ثابت کنید به 22n روش میتوان n توپ از آنها انتخاب کرد. (۱۵ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۴. زیرمجموعهی A از اعداد طبیعی را داریم. شرط لازم و کافی برای آن را بیابید که تعداد زیرمجموعههای زوج A با تعداد زیرمجموعههای فرد آن برابر باشد. (به یک زیرمجموعه زوج میگوییم اگر مجموع اعضای آن زوج باشد. زیرمجموعهی فرد نیز به همین ترتیب تعریف میشود.) (۱۵ امتیاز)
مرتضی - وحید
۵. ۱۲۸ وزنه داریم. در هر مرحله میتوانیم ۲ وزنه را مقایسه کنیم. حداقل چند مرحله نیاز داریم تا سنگینترین و سبکترین وزنه را پیدا کنیم؟ (۱۵ امتیاز)
۶. همهی زیرمجموعههای ناتهی مجموعهی اعداد طبیعی ۱ تا n را در نظر بگیرید. برای هر زیرمجموعه، معکوس حاصلضرب اعضایش را حساب میکنیم. مجموع اعداد به دست آمده را به دست آورید. (۱۵ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۷. آیا میتوان اعداد طبیعی را به تعدادی نامتناهی زیرمجموعهی نامتناهی افراز کرد، طوری که هر دو زیرمجموعهی A, B را که در نظر بگیریم، عدد صحیح k وجود داشته باشد که با اضافه کردن عدد k به تمام اعضای A، مجموعهی B تولید شود. (۱۵ امتیاز)
نمرات در امتحان:
ابراهیم: ۳۰ مرتضی: ۴۵ وحید: ۴۵
تکالیف جمعه ۱ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
توضیح: به دلیل این که این ۲ - ۳ روز سر کاپ جیپک وقت تصحیح ندارم، تصحیح تکالیف ۵ شنبه رو در چند روز آینده انجام میدم. امروز هم یک آزمون مرحله اول دارید. پاسخ تشریحی نیازی نیست و فقط پاسخ تستی (برای سوالات تستی) و بله-خیر (برای سوالات بله-خیر) رو برای من بفرستید.
تکالیف یکشنبه ۱۰ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. ۱۲۸ وزنه داریم که دو به دو، وزنهای متفاوت دارند. ثابت کنید اولین و دومین وزنه از لحاظ سنگینی را میتوان با حداکثر ۱۳۳ مقایسه پیدا کرد. (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۲. ۱۲۸ وزنه داریم که دو به دو، وزنهای متفاوت دارند. ثابت کنید اولین، دومین و سومین وزنه از لحاظ سنگینی را میتوان با حداکثر ۱۳۹ مقایسه پیدا کرد. (۲۰ امتیاز)
۳. تعداد روشهای پخش کردن r شیء متفاوت دور n میز یکسان، طوری که هیچ میزی خالی نماند را sr,n در نظر بگیرید. بدون استفاده از استقرا و روابط بازگشتی ثابت کنید مجموع مقادیر sr,i به ازای i از ۱ تا r، برابر r فاکتوریل است. (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۴. یک خیابان یک طرفه با n پارکینگ با شمارههای ۱ تا n داریم. هر پارکینگ ظرفیت یک ماشین را دارد. n ماشین با شمارههای ۱ تا n به ترتیب وارد خیابان میشوند. پارکینگ مورد علاقهی ماشین i ام، پارکینگ شماره ai است. ماشین i ام به هنگام وارد شدن، اگر پارکینگ ai خالی بود، وارد آن میشود. در غیر این صورت به اولین پارکینگ خالی بعدی میرود. اگر هم کل پارکینگها را رد کرد، از خیابان عبور میکند و میرود. توجه کنید aiها لزومی ندارد متفاوت باشند. تعداد دنبالههای a، به طوری که تمام ماشینها در پارکینگها جای گیرند، چیست؟ (۲۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۵. همهی زیرمجموعههای r عضوی مجموعهی اعداد طبیعی ۱ تا n را در نظر بگیرید. در بین این زیرمجموعهها، میانگین کوچکترین عضو را در نظر بگیرید. ثابت کنید این مقدار برابر
(n + 1) / (r + 1)
است. (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
ابراهیم: ۲۰ مرتضی: ۴۰ وحید: ۴۰
تکالیف دوشنبه ۱۱ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
۱. ۱۰۰ لامپ خاموش با شمارههای ۱ تا ۱۰۰ در یک زندان با ۱۰۰ زندانی با شمارههای ۱ تا ۱۰۰ وجود دارند. زندانیهای شماره فرد، به ترتیب شماره، تمام لامپهای مضرب خود را تغییر وضعیت میدهند. مثلن زندانی شماره ۳، لامپهای ۳ و ۶ و ۹ و ... را تغییر وضعیت میدهد. در پایان چند لامپ روشن خواهیم داشت؟ (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۲. چند جایگشت از اعداد ۱ تا n داریم که به ازای هر عدد به جز عدد سمت چپ، عددی با اختلاف ۱ با آن عدد وجود داشته باشد که قبل از آن عدد آمده باشد؟ مثلن به ازای n = 5، جایگشت ۲۳۱۴۵ مطلوب است اما جایگشت ۲۴۱۳۵ مطلوب نیست. پاسخ را بر حسب n بیابید. (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
۳. دنبالهی صعودی
1, 3, 4, 9, 10
از اعداد طبیعی، شامل اعدادی است که به صورت توانی از ۳ یا مجموعی از توانهای متمایز ۳ هستند. ۱۰۰ امین عدد این دنباله چیست؟ (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۴. طنابهای سرزمین وحیدآباد این خاصیت را دارند که اگر یک سر آنها را آتش بزنیم، طناب در طول ۱ ساعت میسوزد. طنابها هیچ روند و شکل منظمی ندارند. شما با استفاده از ۲ طناب از وحیدآباد، باید دو لحظه را مشخص کنید که فاصلهی بین آنها یک ربع باشد. (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۵. ۱۰۰ نفر را زندانی میکنند. به آنها میگویند فردا شما را به صف خواهیم کرد. هر نفر فقط افراد جلویش را خواهد دید (خودش را هم نمیبیند). روی سر هر نفر یک کلاه خواهیم گذاشت که آبی یا قرمز است. از نفر آخر صف شروع میکنیم و از او رنگ کلاهش را میپرسیم و همین طور تا نفر آخر صف جلو میرویم. هر نفر که درست بگوید زنده میماند. زندانیها قبل از این محاکمه میتوانند با هم، هماهنگیهای لازم را انجام دهند. اگر زندانیها باهوش باشند، حداقل چند نفر زنده میماند؟ (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
ابراهیم: ۵۵ مرتضی: ۳۵ وحید: ۳۵
تکالیف سهشنبه ۱۲ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت و نیم
۱. یک سکه را مرتبن پرتاب میکنیم. پرتاب را تا زمانی ادامه میدهیم که سلطان یا سلطانک ببرند. سلطان وقتی میبرد که ۱۰ پرتاب متوالی پیدا شود که شیر بیاید. سلطانک وقتی میبرد که ۱۰ پرتاب متوالی پیدا شود اولی خط و بقیه شیر باشند. احتمال برد سلطان چقدر است؟ (۱۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۲. همان سوال قبل را حل کنید با این تفاوت که سلطانک وقتی میبرد که ۱۰ پرتاب متوالی پیدا شود که اولی شیر و بقیه خط بیاید. (۳۰ امتیاز)
۳. ۵۲ برگ بازی پاستور را در یک دسته گذاشتهایم. ۳ نفر با این دسته کارتها به نوبت با هم بازی میکنند. هر کس در نوبت خود دسته کارت را بر میزند و یک کارت از آن بیرون میآورد. اگر پیک بود، میبرد و در غیر این صورت کارت را به دسته برمیگرداند. بازی تا وقتی ادامه مییابد که یک نفر ببرد. احتمال برد نفر دوم چقدر است؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۴. یک چوب صاف به طول ۱ متر داریم. آن را به ۳ تکه (نه لزومن برابر) تقسیم میکنیم. به چه احتمالی میتوان با این ۳ تکه، یک مثلث ساخت؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۷۰ ابراهیم: ۴۰
.
.
.
.
.
اردوی علمی شماره ۳ یزد
.
.
.
.
.
تکالیف دوشنبه ۱۸ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. 2n نقطه در فضا داریم. n2+1 پارهخط از پارهخطهای دو به دوی آنها رسم شده است. ثابت کنید ۳ نقطه وجود دارد که دو به دو به هم وصل باشند. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۲. با استقرا ثابت کنید که مجموع مقادیر
c(n+k, k) * 2-k
به ازای kهای از ۰ تا n، برابر با 2n است. (۳۵ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. فرض کنید x1, x2 ریشههای معادلهی x2+px-1=0 با p فرد باشند. فرض کنید yn = x1n + x2n باشد. ثابت کنید به ازای هر n >= 0 دو عدد yn و yn+1 نسبت به هم اول هستند. (۳۵ امتیاز)
مرتضی
نمرات در امتحان:
ابراهیم: ۰ مرتضی: ۶۵ وحید: ۶۵
تکالیف یکشنبه ۲۴ شهریور ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
۱. فرض کنید a, b اعداد صحیح نامنفی باشند و
q = (a2 + b2) / (ab + 1)
باشد. اگر q نیز عددی صحیح باشد، ثابت کنید
q = (gcd(a, b))2
(۳۰ امتیاز)
۲. یک دایره به شعاع واحد با مرکز O در نظر بگیرید. تعداد فردی نقطه مانند P، در یک طرف یکی از اقطار آن رسم شده است. ثابت کنید اندازهی جمع برداری OP ها از ۱ کمتر نیست. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
۳. یک ماتریس m در n از اعداد حقیقی داریم. از هر ستون حداقل p عدد انتخاب میکنیم، طوری که بزرگترین اعداد ستون باشند. از هر سطر نیز حداقل q عدد انتخاب میکنیم که بزرگترین اعداد سطر باشند. ثابت کنید حداقل pq خانه از جدول، ۲ بار انتخاب شدهاند. (۳۵ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
مرتضی: 65 وحید: 35
تکالیف سهشنبه ۲ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
سوال ۱ یک شنبه ۶ مرداد ۱۳۹۲
سوال ۲ یکشنبه ۱۰ شهریور ۱۳۹۲
سوال ۲ دوشنبه ۱۱ شهرویر ۱۳۹۲
تکالیف چهارشنبه ۳ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
سوالات ۲۰ تا ۲۵ تیر
تکالیف پنجشنبه ۴ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
سوالات ۲۶ تا ۳۱ تیر
مدت: ۴ ساعت
سوالات ۱ تا ۵ مرداد
تکالیف یکشنبه ۷ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
سوالات ۶ تا ۱۱ مرداد
مدت: ۴ ساعت
سوالات ۱۸ تا ۳۱ مرداد
تکالیف سهشنبه ۹ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
سوالات ۱ تا ۲۴ شهریور
تکالیف چهارشنبه ۱۰ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
برای بعضی سوالات راهنماییهایی به شما میل شد. اگر سوال را حل کردهاید که هیچ، در غیر این صورت از راهنمایی استفاده کرده و هر طور شده امروز سوال را حل کنید. پس از استفاده از راهنمایی، روی این نیز فکر کنید چه منطقی میتوانست برای حل سوال پی گرفته شود و شما آن را پی نگرفتید و به ایدهی حل به دقت نگاه کنید. اگرم تمام سوالا رو حل کردین، میتونین رو سوالای دیگهی حل نشده فکر کنید.
تکالیف پنجشنبه ۱۱ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مانند روز قبل است. راهنماییهای لازم به شما میل شد.
مدت: ۴ ساعت
کار مانند روز قبل است. راهنماییهای لازم به شما میل شد.
مدت: ۴ ساعت
کار مانند روز قبل است. راهنماییهای لازم به شما میل شد.
تکالیف یکشنبه ۱۴ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مانند روز قبل است. راهنماییهای لازم به شما ایمیل شد.
تکالیف دوشنبه ۱۵ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
تمکیل کارهای ناقص چند روز قبل
تکالیف سهشنبه ۱۶ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
راهنماییها میل شد.
تکالیف چهارشنبه ۱۷ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
به انتخاب خودتون سوالای حلنشده رو حل کنید. امروز باید پرکار باشید. هر گونه کم کاری تنبیه در پی دارد.
تکالیف پنجشنبه ۱۸ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
به انتخاب خودتون سوالای حلنشده رو حل کنید. امروز باید پرکار باشید. هر گونه کم کاری تنبیه در پی دارد.
روز استراحت! البته فقط استراحت ترکیبیاتی :)
مدت: ۴ ساعت
راهنماییهای لازم میل شد. میکشمتون اگه کمکاری کنید. اینا رو امروز باید حل کنید! از فردا هم تکالیف گراف آقای بیکمحمدی اضافه میشه.
تکالیف یکشنبه ۲۱ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
راهنماییها میل شد. عصبانیم از کمکاری شنبه! تکالیف گراف هم ۲۲ ام اضافه میشه.
تکالیف دوشنبه ۲۲ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
به انتخاب خودتون سوال حلنشده حل کنید. ضمن این که در چند روز اخیر از هیچ کدومتون راضی نبودم که اصلن خوب نیست. تا هم من وضعیت تلاش خوب در شما نبینم، تکالیف گراف اضافه نمیشه! پس امشب هم تکلیف گراف گذاشته نمیشه.
تکالیف سهشنبه ۲۳ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مث دیروزه. ضمنن اگه م۲ ای ننویسید تصحیح نمی کنم. اگه تکرار بشه دیگه یزد هم نمیام. ینی جوری باید بنویسید که تو م۲ مینویسید. واقعن زشته این همه بار من بگم این کارو بکنید و شما اصن اهمیت ندین!
تکالیف چهارشنبه ۲۴ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
راهنماییها میل شد. واقعن از دست ۲ نفرتون عصبانیم که ۲۳ ام هیچی حل نکردین. تکالیف گراف هم در صفحهی گراف اضافه شد.
تکالیف پنجشنبه ۲۵ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
راهنماییها میل شد. تکالیف گراف هم در صفحه گراف گذاشته شد.
مدت: ۲ ساعت
به دلخواه حلنشدهها رو حل کنید.
مدت: ۴ ساعت
به دلخواه، حلنشدهها رو حل کنید.
تکالیف یکشنبه ۲۸ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
به دلخواه حلنشدهها رو حل کنید. اولویت با سوالهاییه که دیگران حل کردند و شما حل نکردهاید. بعدش اولویت با سوالهای ۳ دوم مرداد، تمام سوالات ۹ مرداد، سوال ۱ دهم مرداد و سوال ۱ بیست و چهارم مرداد است.
تکالیف دوشنبه ۲۹ مهر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مث روز قبله. تکلیف گراف ندارین امروز.
تکالیف سهشنبه ۳۰ مهر ۱۳۹۲
روز استراحت ترکیبیاتی و گرافی!
تکالیف پنجشنبه ۲ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
سوالاتی که براتون میل کردم رو شروع کنید از ۲۱ حل کنید. هر سوالی حل کردین، جوابشو بنویسین و بفرستین. تا سوالی هم حل نشده سراغ بعدی نمیرین.
مدت: ۴ ساعت
کار مث پنجشنبس
تکالیف یکشنبه ۵ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مثل روزهای قبله
تکالیف دوشنبه ۶ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مثل روزای قبله
تکالیف سهشنبه ۷ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مثل روزای قبله
تکالیف چهارشنبه ۸ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
کار مثل روزای قبله
.
.
اردوی علمی شماره ۴ یزد
.
.
.
تکالیف یکشنبه ۱۲ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
روی سوالات برگهی داده شده به ترتیب فکر کنید. هر سوالی حل شد بفرستید.
تکالیف دوشنبه ۱۳ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف سهشنبه ۱۴ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل (برای بعضیاتون راهنمایی میل شد)
تکالیف چهارشنبه ۱۵ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف پنجشنبه ۱۶ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف جمعه ۱۷ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف شنبه ۱۸ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف یکشنبه ۱۹ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل
تکالیف دوشنبه ۲۰ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل. برای بعضیاتون راهنماییهایی نیز میل شد.
تکالیف سهشنبه ۲۱ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روز قبل.
تکالیف چهارشنبه ۲۲ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۲ ساعت
مثل روز قبل.
تکالیف جمعه ۲۴ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
مثل روزای قبل. برای بعضیاتون راهنمایی میل شد. نکات زیر فراموش نشه:
۱. تکالیف گراف دوباره اضافه شد
۲. مدت زمانهایی که براتون رو مینویسیم یادتون نره بهش توجه کنید
تکالیف شنبه ۲۵ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۵ ساعت
مثل روزای قبل. امروز استثنائا تکلیف گراف ندارین.
تکالیف یکشنبه ۲۶ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف دوشنبه ۲۷ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
مثل روزای قبل. برای بعضیاتون راهنمایی میل شد.
تکالیف سهشنبه ۲۸ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف چهارشنبه ۲۹ آبان ۱۳۹۲
مدت: ۵ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف آدینه، ۱ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
مثل روزای قبل. برای بعضیا راهنمایی میل شد.
تکالیف شنبه، ۲ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف یکشنبه، ۳ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل. برای بعضیا راهنمایی میل شد.
تکالیف دوشنبه، ۴ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف سهشنبه، ۵ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف چهارشنبه، ۶ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف شنبه، ۸ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
تکالیف یکشنبه، ۹ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل. برای بعضی راهنمایی میل شد
تکالیف دوشنبه، ۱۰ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
مثل روزای قبل.
.
.
اردوی علمی شماره ۵ یزد
.
.
.
تکالیف یکشنبه ۱۷ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل
تکالیف دوشنبه ۱۸ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل
تکالیف سهشنبه ۱۹ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل
تکالیف یکشنبه ۲۴ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل
امروز تکلیف گراف هم دارین.
تکالیف دوشنبه ۲۵ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
امروز تکلیف گراف هم دارین.
تکالیف سهشنبه ۲۶ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل.
امروز تکلیف گراف هم دارین.
تکالیف چهارشنبه ۲۷ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل.
امروز تکلیف گراف هم دارین.
تکالیف پنجشنبه ۲۸ آذر ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
مدت: ۲ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای بعضی راهنمایی میل شد.
امروز تکلیف گراف هم دارین.
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل.
تکالیف چهارشنبه ۴ دی ۱۳۹۲
مدت: ۴ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
مدت: ۳ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
امروز تکلیف گراف هم دارین.
مدت: ۳ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل.
مدت: ۳ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل.
مدت: ۳ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. امروز تکلیف گراف هم دارین.
مدت: ۳ ساعت
حل تکالیف لانه به مانند تکالیف دورهی قبل. برای برخی راهنمایی میل شد.
.
.
.
اردوی علمی شماره ۶ یزد
.
.
.
تکالیف سهشنبه ۱۷ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
صرفن جهت یادآوری: ۱. امتحان رو حتمن در زمانش بدید. ۲. جوابهاتون رو اگه م۲ای ننویسین، تصحیح نمیشه. ۳. قرمزکردن اسمها و اینا هم برقراره
۱. ۱۶ خانه از یک جدول ۸ در ۸ رنگ شدهاند. ثابت کنید ۴ تا از آنها وجود دارند که مراکزشان، رئوس یک متوازیالاضلاع باشد. (۳۰ امتیاز)
۲. هر خانه از یک جدول ۲n در ۲n با یکی از چهار رنگ، رنگ شده است؛ طوری که هر زیرمربع ۲ در ۲، هر ۴ رنگ را دارد. ثابت کنید ۴ گوشهی جدول، شامل هر ۴ رنگ هستند. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۳. ۳ مدرسه، هر یک با n دانشآموز داریم. هر دانشآموز، در مجموع n + ۱ دوست از ۲ مدرسهی دیگر دارد (دوستی دوطرفه است). ثابت کنید میتوان از هر مدرسه یک نفر انتخاب کرد، طوری که این ۳ نفر، دو به دو دوست باشند. (۴۰ امتیاز)
وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۲۰ مرتضی: ۰ ابراهیم: ۰
تکالیف چهارشنبه ۱۸ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
۱. ۸ نقطه درون دایرهای به شعاع ۱ هستند. ثابت کنید دو نقطه با فاصلهی حداکثر ۱ وجود دارند. (۳۰ امتیاز)
وحید
۲. ثابت کنید برای هر n، جدولی 2n در 2n وجود دارد که با ۰ و ۱ پر شده است و هر دو سطر آن دقیقن در 2n-1 خانه اختلاف دارند. (۳۰ امتیاز)
وحید
۳. ۸ خانه از یک جدول ۸ در ۸ رنگآمیزی شده است. ثابت کنید در بین فواصل دوبهدوی بین مراکز این خانهها، دست کم ۲ عدد برابر وجود دارد. (۴۰ امتیاز)
وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۸۵ مرتضی: ۰
تکالیف پنجشنبه ۱۹ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
۱. ۹۲ صندلی به فواصل مساوی، دور یک میز دایرهای چیده شدهاند. ۹۲ نفر روی این صندلیها نشستهاند. ۱۰ میکروفون در مقابل ۱۰ تا از این افراد قرار دارد. ثابت کنید میتوان میز را طوری چرخاند که میکروفونها جلوی افرادی قرار گیرند که قبلن مقابلشان میکروفون نبوده است. (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
۲. ثابت کنید به ازای هر n که توانی از ۲ باشد، جدولی n در n وجود دارد که با اعداد 1, 2, ..., 2n-1 پر شده باشد و به ازای i، اگر آن سطر i و ستون i را در نظر بگیریم، تمام اعداد 1, 2, ..., 2n-1 در خانههای آنها ظاهر شده باشند. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
۳. n >= 3 نقطه در صفحه داده شده است که همگی همخط نیستند. ثابت کنید ۳ تا از آنها وجود دارند که درون دایرهی گذرنده از آنها، هیچ نقطهی دیگری نباشد. (۴۰ امتیاز)
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ مرتضی: ۶۰ ابراهیم: ۳۰
مدت: ۳ ساعت
۱. ۸ مربع ۲ در ۲ از یک تخته شترنج ۸ در ۸ برداشته شده است. ثابت کنید هنوز هم میتوان یک مربع ۲ در ۲ دیگر برداشت. (۳۰ امتیاز)
وحید
۲. 2n نقطه در فضا داده شده است، طوری که هیچ ۳ تایی همخط نیستند. کلیه پارهخطهای دوبهدوی بین آنها را رسم کردهایم. ثابت کنید میتوان هر یک از پارهخطها را با یکی از رنگهای c1, c2, ..., cn رنگ کرد، طوری که برای هر رنگآمیزی 2nنقطه با همین n رنگ، پارهخطی وجود داشته باشد که با دو نقطهی انتهایی خود همرنگ باشد. (۳۰ نمره)
وحید
۳. n خط دو به دو ناموازی در صفحه داده شده است. از برخورد هر ۲ خط، حتمن خط دیگری نیز میگذرد. ثابت کنید تمام خطوط همرس هستند. (۴۰ امتیاز)
مرتضی - وحید
نمرات در امتحان:
مرتضی: ۴۰ وحید: ۶۰
مدت: ۳ ساعت
۱. فرض کنید S مجموعهای n عضوی باشد. ثابت کنید برای هر k <= 2n میتوان k زیرمجموعه از S را سفید و بقیه را سیاه کرد؛ طوری که اجتماع هر دو زیرمجموعهی همرنگ، با آنها همرنگ باشد. (۳۰ امتیاز)
وحید
۲. ۹ راس از یک ۳۵ ضلعی منتظم انتخاب کردهایم و تمام پارهخطهای دوبهدوی بین آنها را کشیدهایم. ثابت کنید در بین این پارهخطها، دو تا هستند که موازی باشند. (۳۰ امتیاز)
۳. آیا میتوان یک جدول که از هر سو نامتناهی است را با ۵ رنگ، رنگآمیزی کرد طوری که بتوان آن را با ۵ خانهایهای صلیبی پوشاند، طوری که هر هر ۵ خانهای صلیبی، هر ۵ رنگ را داشته باشد؟ (۴۰ امتیاز)
وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۰ مرتضی: ۰
تکالیف یکشنبه ۲۲ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
نکته: امروز تکلیف گراف هم دارین.
۱. ۳۵ راس از یک ۱۰۰ضلعی منتظم قرمز و بقیه آبی هستند. ثابت کنید دو ۲۳ضلعی همنهشت وجود دارد که یکی قرمز و دیگری آبی باشد. (۳۰ امتیاز)
۲. n نقطه در صفحه داده است. نقاط میانی تمامی پارهخطهای دوبهدوی بین n نقطه را در مجموعهی S بریزید. ثابت کنید S حداقل 2n-3 عضو متمایز دارد. (۳۰ امتیاز)
وحید
۳. در هر خانه از یک جدول 2n-1 در 2m-1 یکی از اعداد ۱ و ۱- نوشته شده است؛ طوری که عدد موجود در هر خانه برابر با حاصلضرب خانههای مجاور ضلعی آن است. ثابت کنید تمام اعداد جدول ۱ هستند. (۴۰ امتیاز)
نمرات در امتحان:
وحید: ۲۵ مرتضی: ۰
مدت: ۳ ساعت
۱. n شهر داریم که بین هر دو شهر، جادهی خاکی یا آسفالت وجود دارد. ثابت کنید میتوان از یک شهر شروع به حرکت کرد و حداکثر با یک بار تعویض نوع جاده، از تمام شهرها دقیقن یک بار گذر کرد و به شهر ابتدایی بازگشت. (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۲. اگر Fi، عدد فیبوناچی i ام باشد، ثابت کنید: (۳۰ امتیاز)
Fgcd(m, n) = gcd(Fm, Fn)
۳. ۸ دانشآموز در یک امتحان ۸ سواله شرکت کردند. اگر هر مسئله توسط ۵ نفر حل شده باشد، ثابت کنید دو نفر وجود دارند که هر مسئله توسط حداقل یکی از آنها حل شده باشد. (۴۰ امتیاز)
وحید - مرتضی - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۷۰ ابراهیم: ۲۰
تکالیف سهشنبه ۲۴ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
۱. جدول 2n در 2n داریم. در هر خانهی آن عددی حقیقی نوشته شده است. هر مرحله میتوان ۲ خانه انتخاب کرد و به جای دو عدد واقع در خانههای آنها، میانگینشان را نوشت. ثابت کنید میتوان تمام اعداد جدول را برابر کرد. (۳۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۲. هر خانه از یک جدول ۷ در ۲۱۱، با سیاه یا سفید رنگ شده است. ثابت کنید ۴ سطر و ۴ ستون وجود دارند که ۱۶ خانهی تقاطع آنها، به یک رنگ باشد. (۳۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
۳. ثابت کنید مقدار
Fn+1/Fn
وقتی n به بینهایت میل کند، به عدد طلایی میل میکند که در آن Fn عدد فیبوناچی nام است. (۴۰ امتیاز)
ابراهیم: ۶۰ مرتضی: ۶۰ وحید: ۶۰
تکالیف چهارشنبه ۲۵ دی ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
آزمون م۱ زیر که پارسال هم دادین رو میدین. جوابهای تستیتون رو برای من میل کنین.
تکالیف یکشنبه ۲۹ دی ۱۳۹۲
هشدار: از امشب اگه کسی هر امتحان رو همون شب نده و نفرسته، از دورهی بعدی محرومه. هیچگونه عذر و بهانهای هم پذیرفته نمیشود؛ حتی اگر رو به موت باشید!
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
۱. به ازای چه اعداد طبیعی n، جایگشتی از ۱ تا n وجود دارد که هیچ دو عدد a, b وجود نداشته باشد که میانگینشان بینشان باشد؟ مثلن جایگشت زیر، این خاصیت را دارد:
1,3,2
(۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۲. یک مربع لاتین n در n داریم. n! نفر با هم بازی میکنند. هر مرحله میتوانیم جای ۲ سطر یا ۲ ستون آن را عوض کنیم؛ طوری که مربع لاتین ایجاد شده، قبلن ایجاد نشده باشد. کسی که نتواند حرکت کند، میبازد. ثابت کنید n! - ۱ نفر اول میتوانند تبانی کنند؛ طوری که نفر n! ام ببازد. (۳۰ امتیاز)
وحید
۳. ۴۶ خانه از یک جدول ۹ در ۹ رنگ شدهاند. ثابت کنید یک مربع ۲ در ۲ وجود دارد که حداکثر ۱ خانهی رنگنشده دارد. (۴۰ امتیاز)
نمرات در امتحان:
وحید: ۳۰ مرتضی: ۳۰ ابراهیم: ۵
مدت: ۳ ساعت
۱. هر نقطه از یک صفحه با یکی از n رنگ، رنگ شده است. ثابت کنید برای هر m >= 3، بیشمار m ضلعی همنهشت وجود دارد که تمام راسهای آنها همرنگ هستند. (۳۰ امتیاز)
وحید
۲. تمام nهایی را بیابید که میتوان مجموعهی اعداد طبیعی ۱ تا n را به ۴ زیرمجموعه افراز کرد؛ طوری که مجموع اعداد دستهها با هم برابر باشند. (۳۰ امتیاز)
ابراهیم - وحید
۳. به یک عدد طبیعی، ویژه گوییم اگر آن را بتوان به صورت مجموع تعدادی عدد طبیعی نوشت؛ طوری که مجموع معکوسهای آنها، برابر ۱ باشد. مثلن ۱۰ عددی ویژه است زیرا:
10 = 4 + 4 + 2
1/4 + 1/4 + 1/2 = 1
الف) ثابت کنید بینهایت عدد ویژهی زوج وجود دارد. (۲۰ امتیاز)
ابراهیم - مرتضی - وحید
ب) ثابت کنید بینهایت عدد ویژهی فرد وجود دارد. (۲۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
نمرات در امتحان:
ابراهیم: ۴۰ مرتضی: ۵۰ وحید: ۷۰
تکالیف سهشنبه ۱ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
۱. ۵۱ حشرهی ریز در یک مربع ۱ در ۱ هستند. ثابت کنید دیسکی به شعاع ۱/۷ وجود دارد که حداقل ۳ حشره را در بر بگیرد. (۳۰ امتیاز)
۲. ۲ نفر روی یک میلیارد سنگریزه بازی میکنند. هر مرحله میتوان به تعداد pn سنگریزه را برداشت که در آن p عددی اول و n عددی صحیح و نامنفی است. کسی که آخرین مهره را بردارد، میبرد. چه کسی استراتژی برد دارد؟ (۳۰ امتیاز)
مرتضی - وحید - ابراهیم
۳. ثابت کنید:
sqrt(2sqrt(3sqrt(....sqrt(n))....)) < 3
(۴۰ امتیاز)
وحید
نمرات در امتحان:
مرتضی: ۳۰ وحید: ۲۰ ابراهیم: ۳۰
تکالیف پنجشنبه ۹ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
۱. دو نفر با هم بازی میکنند. هر نفر در نوبتش یک خانهی رنگنشده از یک مربع ۴ در ۴ را رنگ میکند. نخستین کسی که یک زیرمربع رنگشدهی ۲ در ۲ بسازد، میبازد. چه کسی استراتژی برد دارد؟ (۳۰ امتیاز)
وحید - مرتضی
۲. ثابت کنید نمیتوان با نواحی درون n سهمی، یک صفحه را پوشاند. (۳۰ امتیاز)
۳. هشت رخ روی صفحهی شترنج طوری قرار دارند که هیچیک از آنها دیگری را تهدید نمیکند. ثابت کنید تعداد رخهای روی خانههای سیاه، زوج است. (۴۰ امتیاز)
وحید - ابراهیم
نمرات در امتحان:
وحید: ۷۰ مرتضی: ۳۰ ابراهیم: ۴۰
تکالیف جمعه ۱۰ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳ ساعت
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
۱. تعریف:
به
ماتریس همآنند n در n همانند A بامزه
میگوییم هرگاه تمام درایههایِ آن ۱ و یا ۱- باشند و
به ازای هر دو سطر مثل i, j، مجموع مقادیر ai,k * aj,k به ازای k از ۱ تا n برابر ۰ باشد.
تعریف:
به
ماتریس n در n همآنند A خوشمزه
میگوییم، هرگاه بامزه باشد و به ازای هر i از ۱ تا n داشته باشیم:
ai,1 = a1,i = 1
الف)
ثابت
کنید اگر ماتریس n در n بامزه وجود داشته باشد، ماتریس n در n خوشمزه نیز وجود دارد.
(۱۵ امتیاز)
ب) n دنباله
با نامهایِ A1, A2, ..., Anداریم که طولِ هر کدام n-1 بوده و اعضایِ هر کدام از آنها ۱ و یا ۱- است.
ضربِ
داخلیِ دو بردار برابر با مجموعِ حاصلضربِ
درایههایِ متناظرِ آنها در یکدیگر
است. در
صورتی که ضربِ داخلیِ هر دو بردار از این n تا منفی شود،
به این n تایی
تلخ
میگویند.
ثابت
کنید n تاییِ
تلخ وجود دارد اگر و فقط اگر، ماتریسِ
بامزهیِ n در n وجود داشته باشد. (۳۵ امتیاز)
۲. گرافِ
سادهیِ G را در
نظر بگیرید که ماتریسِ مجاورتِ آن A است. G را
خوب مینامیم اگر و تنها اگر عددی طبیعی
مانندِ k موجود
باشد که Ak ماتریسی
باشد که همهیِ درایههایَش ناصفر
است.
الف)
شرطِ
لازم و کافی برایِ خوب بودنِ یک گراف معرفی
کنید و ادعایِ خود را ثابت کنید.
(۲۵ امتیاز)
وحید
ب)
ثابت
کنید اگر G گرافی n رأسی و خوب
باشد، عدد طبیعیِ k < 2n وجود دارد که همهیِ درایههایِ Ak ناصفر باشند. (۲۵ امتیاز)
وحید
نمرات در امتحان:
وحید: ۵۰
تکالیف یکشنبه ۱۲ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳ + ۱.۵ ساعت
آزمون م۱ دورهی ۲۱ رو بزنین و بعدش به مدت ۹۰ دقیقه بشینین با هم بررسی کنین سوالاش رو
تکالیف دوشنبه ۱۳ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
فکر کردن روی سوالای قبل (انتظار دارم مقدار خوبی حل بشه)
تکالیف سهشنبه ۱۴ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳
فکر کردن روی سوالای قبل (انتظار دارم مقدار خوبی حل بشه)
تکالیف چهارشنبه ۱۵ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳.۵ + ۱.۵ ساعت
م۱ دورهی ۱۹ رو بزنید و بعدشم با هم بشینید بررسیش کنید.
تکالیف پنجشنبه ۱۶ بهمن ۱۳۹۲
مدت: ۳
فکر کردن روی سوالات روزای قبل
مدت: ۳ + ۱.۵ ساعت
آزمون زیر که آزمون شماره ۱ بسیج امساله رو بدید و بعدش با هم بررسی کنید. آخر شب براتون پاسخنامه هم میفرستم که اشکالات نهاییتون رو بررسی کنید:
مدت: ۳ + ۱.۵ ساعت
آزمون زیر که آزمون شماره ۲ بسیج امساله رو بدید و بعدش با هم بررسی کنید. آخر شب براتون پاسخنامه هم میفرستم که اشکالات نهاییتون رو بررسی کنید:
پاسخهای آزمون دیروز:
مدت: ۳ + ۱.۵ ساعت
آزمون م۱ دوره ۱۸ به همراه بررسی گروهی بعد از آزمون
تکالیف دوشنبه ۵ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
فکر کردن روی سوالات ۱۷ و ۱۸ دی
تکالیف سهشنبه ۶ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
فکر کردن روی سوالات ۱۷ و ۱۸ دی
تکالیف چهارشنبه ۷ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
فکر کردن روی سوالات ۱۷ تا ۲۱ دی
تکالیف پنجشنبه ۸ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
فکر کردن روی سوالات ۱۷ تا ۲۱ دی
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
فکر کردن روی سوالات ۱۷ تا ۲۱ دی
تکالیف شنبه ۱۰ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
فکر کردن روی سوالات ۲۲ تا ۲۳ دی
تکالیف یکشنبه ۱۱ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین
فکر کردن روی سوالات ۲۲ تا ۲۳ دی
تکالیف دوشنبه ۱۲ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
فکر کردن روی سوالات ۲۲ تا ۲۴ دی
تکالیف چهارشنبه ۱۴ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
فکر کردن روی سوالات ۲۹ دی تا ۱ بهمن
تکالیف جمعه ۱۶ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
فکر کردن روی سوالات ۲۹ دی تا ۱ بهمن
تکالیف شنبه ۱۷ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
فکر کردن روی سوالات ۹ تا ۱۰ بهمن
تکالیف سهشنبه ۲۰ اسفند ۱۳۹۲
مدت: ۴
توجه: امروز تکلیف گراف هم دارین.
فکر کردن روی سوالات ۱۷ دی تا ۱۰ بهمن